Григорий Елисеев родился 14 октября 1918 года в селе Парная (сейчас в Шарыповском районе Красноярского края) в семье крестьянина. Здесь окончил неполную среднюю школу, работал в колхозе, а затем на руднике. Призван в РККА 5 ноября 1940 года Саралинским РВК Красноярского края. Служил в Закавказском военном округе командиром отделения в гаубичном артполку. В декабре 1941 года младший политрук Елисеев окончил Сталинградское военно-политическое училище и был отправлен на фронт. Воевал политруком стрелковой роты на Сталинградском и Донском фронтах.

С апреля 1942 года — гвардии старший лейтенант, секретарь бюро ВЛКСМ полка. Всегда находился в боевых порядках полка, своим личным примером воодушевляя бойцов на отличное выполнение боевых заданий. Так в боях за хутор Шишков и село Крепаки организовал группу комсомольцев и гранатами уничтожил огневые точки противника, которые вели огонь по наступающей пехоте, чем помог батальону выполнить поставленную задачу и захватить хутор. В ноябре 1942 года в решающий момент боя первым поднял бойцов в атаку. Комсорг был награжден двумя медалями «За отвагу».
С апреля 1943 года гвардии капитан Григорий Елисеев — заместитель командира по политической части 3-го стрелкового батальона 178-го Гвардейского стрелкового полка 60-й Гвардейской стрелковой дивизии 12-й армии 3-го Украинского фронта. К Днепру он пришёл закалённым воином, за плечами которого были тысячи километров освобождённой родной земли, тяжёлые кровопролитные бои. На подступах к Днепру был ранен, но, превозмогая боль, в числе первых высадился на правом берегу реки. Во время форсирования реки погиб командир батальона. Тогда командование подразделением Елисеев принял на себя. Сразу же пришлось вступить в рукопашный бой с гитлеровцами. Бойцы под командованием Григория Семёновича захватили плацдарм на острове Хортица. В одном из строений установили радиостанцию, с помощью которой корректировали огонь.
К утру большая часть батальона преодолела водный рубеж. Но враг не переставал контратаковать смельчаков. Елисеев ни на минуту не оставлял боевые порядки. Двенадцать раз пытались фашисты выбить десантников с позиции, но безуспешно.
Трое суток насмерть стояли гвардейцы Елисеева на Хортицком плацдарме. В этих боях отважный командир был ранен и тяжело контужен.

Из наградного листа:
«Ночью 26 октября 1943 года штурмовой батальон искусно перебрался через Днепр, высадился на острове Хортица. Гвардейцы с криком «Ура!» начали успешно продвигаться вперёд по тяжелому рельефу местности. Гитлеровцы, обратившиеся в бегство, потеряли первую линию своей обороны. И чтобы восстановить потерянный оборонительный рубеж, полезли в контратаку, пустив в ход танки и ведя усиленный артиллерийско-миномётный огонь. В эту тяжёлую минуту вышел из строя командир стрелкового батальона. Командование батальоном принял на себя тов. Елисеев. Умело организовав оборону занимаемого плацдарма, гвардейцы под руководством тов. Елисеева отбили четыре бешеные контратаки гитлеровцев с большими для них потерями. Во время отражения атак тов. Елисеев лично находился в боевых порядках и своими героическими подвигами воодушевлял бойцов и командиров. В течение всего дня гвардейцы под руководством тов. Елисеева сдерживали натиск контратакующих фашистов. Боеприпасы подходили к концу. Враг подбрасывал всё новые и новые силы и начал обходить небольшую группу героев правобережья с флангов, тесня всё ближе и ближе к реке. Тов. Елисеев принимал все необходимые решения для удержания небольшого клочка советской земли до прихода подкрепления.
Боеприпасы вышли, автоматическое оружие отказалось работать. Наглые фашисты наседали со всех сторон. Тов. Елисеев, набрав камней, с криком: «За Родину! За родную Украину! Ура, товарищи!» начал бросать их в немцев. Даже раненые, воодушевляемые Елисеевым, кидали камни и кричали «Ура», морально действуя на врага. Умело организованная товарищем Елисеевым оборона, беспрестанное воодушевление гвардейцев на подвиги помогли удержать группе героев правобережья завоёванный плацдарм до подхода подкрепления».

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 19 марта 1944 года гвардии капитану Григорию Семёновичу Елисееву присвоено звание Героя Советского Союза.

После госпиталя гвардии капитан Елисеев на фронт уже не вернулся, был назначен заместителем командира по политчасти учебного батальона. После войны продолжил службу в армии. В 1955 году окончил Военно-политическую академию имени В. И. Ленина. После окончания академии — заместитель командира полка по политической части, военный комиссар г. Полтавы и Полтавской области. С 1966 года полковник Елисеев в запасе. Трудился на хозяйственной работе. В 1970 году вышел на пенсию.

Умер Григорий Семёнович Елисеев 23 июня 2000 года. Похоронен на Центральном кладбище в Полтаве.

Награждён медалью «Золотая Звезда» и орденом Ленина (19.03.1944), орденами Отечественной войны I степени (1985), Красной Звезды (1955), двумя медалями «За отвагу» (3.12.1942, 16.03.1943), медалями «За боевые заслуги» (1950), «За оборону Сталинграда», «За победу над Германией».